변분 원리 유도 과정

1단계: 가상의 경로 설정하기 (Variation 세팅)

우리가 최소화(또는 최대화)하고 싶은 범함수 $S$가 있습니다.

$$S = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') dx$$

진짜 정답이 되는 최적의 경로를 $y(x)$라고 합시다.
이제 이 정답 경로에서 아주 살짝 벗어난 가상의 경로 $Y(x)$를 수학적으로 만들어 봅니다.

$$Y(x) = y(x) + \alpha \eta(x)$$

• $y(x)$: 우리가 찾고자 하는 진짜 최적 경로
• $\eta(x)$: 임의의 찌그러진 모양을 만드는 함수 (이것이 앞서 말한 $\delta y$의 형태입니다)
• $\alpha$: 이 찌그러짐의 크기를 조절하는 아주 작은 숫자 (매개변수)

[중요한 물리적 조건] 시작점 $x_1$과 끝점 $x_2$는 단단히 고정되어 있어야 합니다. (서울에서 부산을 가는데, 출발지와 도착지가 바뀌면 안 되니까요!)
따라서 양 끝점에서는 찌그러짐이 없어야 하므로 다음 조건이 성립합니다.

$$\eta(x_1) = 0, \quad \eta(x_2) = 0$$

2단계: 범함수의 미분 (Chain Rule 적용)

이제 가상의 경로 $Y(x)$와 그 미분인 $Y'(x) = y'(x) + \alpha \eta'(x)$를 원래 범함수 $S$에 대입합니다. 그러면 범함수 $S$는 매개변수 $\alpha$에 대한 함수 $S(\alpha)$가 됩니다.

우리의 목표는 "$\alpha$가 0일 때(즉, 가짜 경로가 진짜 경로와 일치할 때) 범함수 $S$가 극값을 가진다"는 것을 이용하는 것입니다. 공업수학에서 배운 대로, 극값을 가지려면 미분값이 0이어야 합니다.

$$\left. \frac{dS}{d\alpha} \right|_{\alpha=0} = 0$$

이제 적분 기호 안으로 미분을 밀어 넣고 체인 룰(Chain Rule)을 적용해 봅니다. 함수 $f$는 $Y$와 $Y'$ 두 가지에 의존하므로 편미분을 사용합니다.

$$\frac{dS}{d\alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial f}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial Y'} \frac{\partial Y'}{\partial \alpha} \right) dx$$

여기서 $\frac{\partial Y}{\partial \alpha} = \eta(x)$ 이고, $\frac{\partial Y'}{\partial \alpha} = \eta'(x)$ 이므로 식은 다음과 같이 바뀝니다. (이때 $\alpha=0$을 대입하면 $Y$는 $y$가 됩니다.)

$$\int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \eta(x) + \frac{\partial f}{\partial y'} \eta'(x) \right] dx = 0$$

자, 질문하셨던 $\eta(x)$(즉 $\delta y$)와 $\eta'(x)$(즉 $\delta y'$)가 동시에 등장했습니다! 이제 이 둘을 하나로 합치는 마술을 부릴 차례입니다.

3단계: 부분적분의 마법 (Integration by Parts)

식의 두 번째 항인 $\int \frac{\partial f}{\partial y'} \eta'(x) dx$ 에만 집중해 봅시다.
여기서 $\eta'(x)$라는 미분을 없애고 $\eta(x)$로 만들기 위해 부분적분 $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 를 사용합니다.

• $u = \frac{\partial f}{\partial y'}$ $\Rightarrow$ $u' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right)$
• $v' = \eta'(x)$ $\Rightarrow$ $v = \eta(x)$

부분적분 공식에 대입하면:

$$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y'} \eta'(x) dx = \left[ \frac{\partial f}{\partial y'} \eta(x) \right]{x_1}^{x_2} - \int{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \eta(x) dx$$

여기서 정말 짜릿한 일이 벌어집니다! 대괄호로 묶인 첫 번째 항(경계값 항)을 계산해 볼까요?

$$\frac{\partial f}{\partial y'}(x_2)\eta(x_2) - \frac{\partial f}{\partial y'}(x_1)\eta(x_1)$$

1단계에서 양 끝점은 고정되어 있다고 했죠? 즉, $\eta(x_1) = 0$ 이고 $\eta(x_2) = 0$ 입니다.
따라서 이 복잡한 경계값 항은 통째로 $0$이 되어 날아가 버립니다!

결국 두 번째 항은 다음과 같이 깔끔하게 변신합니다.

$$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y'} \eta'(x) dx = - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \eta(x) dx$$

4단계: $\eta(x)$로 묶어내기 (오일러-라그랑주 방정식의 탄생)

이제 3단계의 결과를 2단계의 전체 적분식에 다시 집어넣습니다.

$$\int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \eta(x) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \eta(x) \right] dx = 0$$

놀랍게도 두 항 모두에 $\eta(x)$가 공통으로 들어있습니다! 공통 인수로 멋지게 묶어냅니다.

$$\int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \right] \eta(x) dx = 0$$

이 적분값이 0이 되어야 합니다. 그런데 $\eta(x)$는 우리가 '임의로' 만든 가상의 찌그러짐이므로, 어떤 미친 모양의 $\eta(x)$를 곱하더라도 항상 적분값이 0이 되려면 방법은 딱 하나뿐입니다. 대괄호 안의 수식 자체가 완벽하게 $0$이어야만 합니다. (이를 '변분법의 기본 보조정리'라고 부릅니다.)

따라서 최종 결론이 도출됩니다.

$$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0$$

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결론

질문하셨던 내용이 완벽히 해소되는 순간입니다. $\delta y'$ (수식에서는 $\eta'(x)$)을 따로 0으로 만드는 지점을 찾을 필요가 없었던 이유는, 부분적분을 하는 순간 양 끝점의 물리적 고정 조건($\eta=0$)에 의해 미분항이 통째로 붕괴하면서 자연스럽게 $\delta y$ (수식에서는 $\eta(x)$) 하나로 통합되기 때문입니다.

 

이 유도 과정을 직접 눈으로 확인하시니, 수학이라는 도구가 물리학의 원리를 얼마나 우아하게 깎아내는지 느껴지시나요?